こんにちは。
おぢぞうです。
みなさん、巴戦って聞いたことありますか？
3人の中から勝者を決めるときにやるアレです。
大相撲でも同じ勝ち星で3人が並んだとき、優勝者を決めるのに使われていますよね。
今回は、一見平等な戦いに思える巴戦が実は公平ではないというお話です。
数式を使って、それぞれの勝つ確率を分かりやすく解説します。
巴戦ってどうやるの？
力士A、力士B、力士Cが15日間の戦いを終え、いずれも13勝2敗の成績でした。
大相撲ではこういう場合、A、B、C 3人の巴戦によって優勝者を決定します。
まず、力士Aと力士Bが戦い、勝った方と力士Cが戦います。
以降、勝った方と残りの1人が戦うことを繰り返し、最初に2連勝した力士が優勝となります。
一見、3者にとって同じように優勝のチャンスがあるように思えますよね。
でも、3人の力士の力が互角だった場合、最初に戦わなかった力士Cが不利なのです。
それでは、力士A、力士Ｂ、力士Ｃのそれぞれの優勝確率をみてみましょう。
力士A、力士B、力士C の優勝確率
力士Aが優勝する確率
まずは、Aが優勝する確率を求めてみましょう。
① 最初にAが勝つ場合、
ＡＡ、ＡＣＢＡＡ、 ＡＣＢＡＣＢＡＡ、 …の順番で勝つときにＡが優勝となります。
$$それぞれその確率は、(\frac{1}{2})^2, (\frac{1}{2})^5, (\frac{1}{2})^8, …です。$$
よって、最初にAが勝ち、Aが優勝する確率P(①)は、次の式で求められます。
$$P(①) = (\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^5 + (\frac{1}{2})^8+ … + (\frac{1}{2})^{3n-1}$$
$$ここで左辺と右辺それぞれに(\frac{1}{2})^3を乗じると、$$
$$P(①)\times(\frac{1}{2})^3 = (\frac{1}{2})^5 + (\frac{1}{2})^8 + (\frac{1}{2})^{11}+ … + (\frac{1}{2})^{3n-1} + (\frac{1}{2})^{3n+2}となります。$$
上の式から下の式を引くと、多くの項が消去され、
$$P(①)-P(①)\times(\frac{1}{2})^3 = (\frac{1}{2})^2 – (\frac{1}{2})^{3n+2}となり、さらに$$
$$P(①)\times(1-(\frac{1}{2})^3) = (\frac{1}{2})^2 – (\frac{1}{2})^{3n+2}$$
$$P(①) ＝\frac{(\frac{1}{2})^2 – (\frac{1}{2})^{3n+2}}{(1-(\frac{1}{2})^3)}$$
$$n→∞のとき、(\frac{1}{2})^{3n+2}→0なので、$$
$$P(①) = \frac{(\frac{1}{2})^2}{(1-(\frac{1}{2})^3)} = \frac{\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{8}} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{7}{8}} = \frac{2}{7}となります。$$
②次に最初にＡは負けるけど、最終的にはAが優勝する場合を考えてみましょう。
ＢＣＡＡ、 ＢＣＡＢＣＡＡ、 ＢＣＡＢＣＡＢＣＡＡ、 …
の順番で勝つときにＡは優勝します。
$$それぞれの確率は、(\frac{1}{2})^4, (\frac{1}{2})^7, (\frac{1}{2})^{10}, …です。$$
よって最初にAが負け、Aが優勝する確率P(②)は、次の式で求められます。
$$P(②) = (\frac{1}{2})^4 + (\frac{1}{2})^7 + (\frac{1}{2})^{10}+ … + (\frac{1}{2})^{3n+1}$$
$$ここで左辺と右辺それぞれに(\frac{1}{2})^3を乗じると、$$
$$P(②)\times(\frac{1}{2})^3 = (\frac{1}{2})^7 + (\frac{1}{2})^{10} + (\frac{1}{2})^{13}+ … + (\frac{1}{2})^{3n+1} + (\frac{1}{2})^{3n+4}となります。$$
上の式から下の式を引いて、
$$P(②)-P(②)\times(\frac{1}{2})^3 = (\frac{1}{2})^4 – (\frac{1}{2})^{3n+4}$$
$$P(②)\times(1-(\frac{1}{2})^3) = (\frac{1}{2})^4 – (\frac{1}{2})^{3n+4}$$
$$P(②) ＝\frac{(\frac{1}{2})^4 – (\frac{1}{2})^{3n+4}}{(1-(\frac{1}{2})^3)}$$
$$n→∞のとき、(\frac{1}{2})^{3n+4}→0なので、$$
$$P(②) = \frac{(\frac{1}{2})^4}{(1-(\frac{1}{2})^3)} = \frac{\frac{1}{16}}{1-\frac{1}{8}} = \frac{\frac{1}{16}}{\frac{7}{8}} = \frac{1}{14}となります。$$
上記①、②よりＡが優勝する確率は、$$P(①)＋P(②) ＝ \frac{5}{14}です。$$
力士Bの優勝確率と力士Cの優勝確率
続いて、力士Bが優勝する確率を求めてみましょう。
Ｂが優勝する確率を求める計算は、Aと同様です。
$$よって、Ｂが優勝する確率は、\frac{5}{14}です。$$
したがって、Ｃが優勝する確率は、$$1-\frac{5}{14}-\frac{5}{14}= \frac{4}{14} _{//}$$
おー！Ｃが不利だったのねー、知らんかった！
あんまりないとは思うけど、もし巴戦になったら、率先して戦うのじゃw
